Anualidades y series uniformes: pagos iguales, préstamos y ahorro
Los factores P/A, A/P, F/A y A/F explicados con un plan de ahorro, la recuperación de capital de un equipo y una renta perpetua.
Una serie uniforme (o anualidad) es una sucesión de pagos iguales hechos a intervalos regulares: el ahorro quincenal en una cuenta, la renta de un local, el ingreso mensual que genera un equipo o el pago de un préstamo. Se representa con la letra A. Como cada pago ocurre en un momento distinto, no se pueden sumar sin más; hay que trasladarlos con la tasa de interés. Los factores de serie uniforme hacen ese trabajo de una sola vez.
Convención del fin de periodo
En las fórmulas clásicas el primer pago A ocurre al final del primer periodo (t = 1) y el último al final del periodo N. Si los pagos se hacen al inicio de cada periodo (anualidad anticipada), el resultado se multiplica por (1 + i) o se ajusta la línea de tiempo.
Los cuatro factores principales
| Buscas | Conoces | Fórmula | Notación |
|---|---|---|---|
| F | A | F = A · [(1 + i)N − 1] / i | (F/A, i, N) |
| P | A | P = A · [(1 + i)N − 1] / [i(1 + i)N] | (P/A, i, N) |
| A | F | A = F · i / [(1 + i)N − 1] | (A/F, i, N) |
| A | P | A = P · i(1 + i)N / [(1 + i)N − 1] | (A/P, i, N) |
Perpetuidades
Una perpetuidad es una serie que nunca termina. Cuando N tiende a infinito, el factor (P/A) se simplifica y el valor presente es sencillamente P = A / i. Por ejemplo, una renta de $12,000 al año a perpetuidad, con una tasa de 8 % anual, vale hoy $150,000. La perpetuidad solo existe con interés compuesto y es la base para valuar rentas, fundaciones y acciones que pagan dividendos constantes.
Relación entre los factores
Los factores son inversos entre sí: (A/P) = 1 / (P/A) y (A/F) = 1 / (F/A). Además, (A/P, i, N) = (A/F, i, N) + i. Esta última relación explica por qué la mensualidad de un préstamo siempre es mayor que el simple abono al capital: incluye el interés sobre el saldo.
Calculadora: elige «Pago uniforme (A)» con el dato «Valor presente (P)» para obtener la mensualidad de un préstamo; al terminar verás su tabla de amortización completa.
Ahorro, recuperación de capital y renta perpetua
Un plan de ahorro, la recuperación de capital de un horno y una beca perpetua: tres usos de una serie uniforme. Puedes comprobar cada resultado en la calculadora.
Ejercicio 1. Depositas $800 al final de cada mes durante 18 meses a 1 % mensual. ¿Cuánto acumulas?
F = 800 × [(1.01)18 − 1] / 0.01 = $15,691.80. Aportas $14,400 y ganas $1,291.80 de intereses.
Ejercicio 2. Una panadería invierte $180,000 en un horno que durará 48 meses. Su TREMA es 12 % anual capitalizable mensualmente (1 % mensual). ¿Cuánto debe generar el horno cada mes para recuperar la inversión con ese rendimiento?
A = 180,000 × (A/P, 1 %, 48) = 180,000 × 0.01(1.01)48 / [(1.01)48 − 1] = $4,740.09 al mes. En 48 meses suman $227,524.34: $47,524.34 más que la inversión, que es el rendimiento exigido.
Ejercicio 3. Una beca perpetua entrega $5,000 al mes. Si la tasa es 0.5 % mensual, ¿qué capital se necesita hoy?
P = A / i = 5,000 / 0.005 = $1,000,000.
Preguntas sobre anualidades
¿Qué pasa si los pagos se hacen al inicio del periodo?
Es una anualidad anticipada: cada pago se adelanta un periodo, por lo que el valor presente y el futuro se multiplican por (1 + i) respecto a la fórmula clásica.
¿Cuál es la diferencia entre (P/A) y (A/P)?
Son inversos. (P/A) convierte pagos iguales en un valor presente; (A/P) convierte un valor presente en pagos iguales. Para la mensualidad de un crédito se usa (A/P).
¿Y si los pagos no son iguales?
Si crecen de forma regular, usa los gradientes. Si no siguen un patrón, traslada cada pago por separado y suma, como hace la sección de Proyectos.