Gradientes lineales y geométricos: series que crecen en cada periodo
Qué hacer cuando los pagos no son iguales sino que aumentan en una cantidad fija (G) o en un porcentaje (g).
En la vida real pocos flujos son perfectamente iguales. El mantenimiento de una máquina sube con los años, un sueldo crece con aumentos periódicos, la renta se ajusta por inflación. Cuando los pagos cambian de forma regular, se pueden modelar como un gradiente: lineal si aumentan una cantidad fija, o geométrico si aumentan un porcentaje fijo.
Gradiente lineal (aritmético)
El primer pago es A1 y cada periodo siguiente aumenta (o disminuye) una cantidad constante G:
Pagos: A1, A1 + G, A1 + 2G, …, A1 + (N − 1)G
Se divide mentalmente en dos partes: una serie uniforme de valor A1 y una serie de gradiente que empieza en 0, G, 2G… El valor presente es la suma de ambas:
P = A1(P/A, i, N) + G(P/G, i, N)
Y si se prefiere un pago uniforme equivalente: A = A1 + G(A/G, i, N), donde (A/G, i, N) = 1/i − N / [(1 + i)N − 1].
Gradiente geométrico
Aquí cada pago es el anterior multiplicado por (1 + g), con g el porcentaje de crecimiento por periodo. Es el modelo natural para ingresos que crecen con la inflación o con una tasa de expansión. Si i ≠ g:
P = A1 · [1 − ((1 + g)/(1 + i))N] / (i − g)
Y si i = g, la fórmula anterior se indetermina y el resultado es simplemente P = N · A1 / (1 + i).
Cómo saber qué tipo de gradiente tienes
- Si el cambio entre pagos es siempre la misma cantidad de dinero (+$200 cada año), es lineal.
- Si el cambio es siempre el mismo porcentaje (+5 % cada año), es geométrico.
- Si los cambios no siguen un patrón, se trata cada flujo como un pago único y se suman los valores presentes (es lo que hace la sección de proyectos).
Detalles que suelen causar errores
- En el gradiente lineal el primer incremento G aparece en el segundo periodo; el factor (P/G) ya incorpora esa convención.
- El gradiente puede ser negativo (pagos decrecientes): basta usar G con signo negativo.
- El gradiente geométrico exige que i y g estén en el mismo periodo (ambos anuales, ambos mensuales…).
Calculadora: elige «Gradiente (G)» o «Gradiente geométrico (g)» en «¿Qué quieres calcular?». En la sección Proyectos también puedes agregar movimientos de tipo gradiente lineal o geométrico y ver todos los flujos en la gráfica.
Series que crecen: practica
Un gradiente lineal, uno geométrico y una serie para reconocer su tipo. Puedes comprobar cada resultado en la calculadora.
Ejercicio 1. Un contrato paga $2,000 al final del año 1 y aumenta $300 cada año durante 4 años. Con 8 % anual, halla el valor presente y el pago uniforme equivalente.
P = 2,000 × (P/A, 8 %, 4) + 300 × (P/G, 8 %, 4) = 2,000 × 3.3121 + 300 × 4.6501 = $8,019.28. A = 2,000 + 300 × (A/G, 8 %, 4) = 2,000 + 300 × 1.4040 = $2,421.19 por año.
Ejercicio 2. Un ingreso de $10,000 al final del año 1 crece 3 % anual durante 6 años. Con 8 % anual, ¿cuál es su valor presente?
P = 10,000 × [1 − (1.03 / 1.08)6] / (0.08 − 0.03) = $49,508.90.
Ejercicio 3. ¿Qué tipo de gradiente es la serie 500, 550, 605, 665.50?
Geométrico: cada pago es el anterior por 1.10, así que g = 10 %. Si fuera lineal, la diferencia entre pagos sería constante (aquí es 50, 55, 60.50).
Dudas sobre gradientes
¿Cuál es la diferencia entre el gradiente G y el pago A1?
A1 es el primer pago de la serie y G es lo que aumenta (o disminuye) en cada periodo siguiente. El primer incremento aparece en el segundo pago.
¿Puede el gradiente ser negativo?
Sí. Para pagos que disminuyen (por ejemplo, intereses de un préstamo) se usa G negativo.
¿Qué hago si el crecimiento no es constante?
Registra cada flujo como un movimiento por separado en un proyecto. La calculadora trae cada uno a valor presente y los suma.